വിമാനം സമവാക്യം: എങ്ങനെ? തരം വിമാനം സമവാക്യങ്ങൾ

വിമാനം സ്ഥലം വിവിധ വഴികൾ (ഒരു ഡോട്ട് വെക്റ്റർ, വെക്റ്റർ രണ്ടു പോയിന്റ്, മൂന്ന് പോയിന്റ്, മുതലായവ) നിർവചിച്ചിരിക്കും. ഇത് വിമാനം സമവാക്യം വ്യത്യസ്ത തരം കഴിയും മനസ്സിൽ ഈ കൂടെയുണ്ട്. ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ വിമാനം തുടങ്ങിയവ, സമാന്തര ലംബമായി പരസ്പരം ആയിരിക്കാം ഈ ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ സംസാരിക്കും. നാം വിമാനം ജനറൽ സമവാക്യം മാത്രമല്ല വരുത്തുവാൻ പഠിക്കും.

സമവാക്യം സാധാരണ ഫോം

ആർ ഉണ്ട് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ജെഡ് സ്പേസ് _3, കരുതുക. നാം വെക്റ്റർ α അത് ലംബവും ആണ് വിമാനം പി ആകർഷിക്കും അവസാനം വഴി ആരംഭ പോയിന്റ് ഒ നിന്ന് റിലീസ് ചെയ്യും ഒരു വെക്റ്റർ α, നിർവചിക്കുന്നു.

എത്രവേണമെങ്കിലും പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ = (X, Y, Z) ചെയ്തത് പി എസില്. പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ അടയാളം കത്ത് പേ ആരം വെക്റ്റർ. വെക്റ്റർ നീളം α പി = ഇαഇ തുല്യം ആൻഡ് Ʋ = (ചൊസ്α, ചൊസ്β, ചൊസ്γ).

വെക്റ്റർ α ആയി ദിശയിൽ സംവിധാനം ചെയ്ത ഈ യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ. α, β ആൻഡ് γ - വെക്റ്റർ നല്ല ദിശകൾ Ʋ സ്പേസ് മഴു നീളവും, Y, യഥാക്രമം z തമ്മിലുള്ള രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് കോണുകളിൽ ആകുന്നു. വെക്റ്റർ ക്εപ് Ʋ ഒരു പോയിന്റ് എന്ന പ്രൊജക്ഷൻ പി (പി, Ʋ) = പി (ര്≥൦) തുല്യമോ ആണ് ഒരു സ്ഥിരാങ്കം.

പി = 0 മുകളിൽ സമവാക്യം ഫലപ്രദമാകൂ. ഈ കേസിൽ മാത്രം n വിമാനം, പോയിന്റ് ഒ (α = 0), ഏത് ഉൽഭവം കവിയുമെന്നും തന്നെ, യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ Ʋ, പോയിന്റ് ഒ നിന്നും ഇതിൽ വെക്റ്റർ Ʋ നിർണ്ണയിക്കാൻ എന്നാണ് അതിന്റെ ദിശ, എങ്കിലും, പി ലംബമായി ചെയ്യും അടയാളം വരെ. മുമ്പത്തെ സമവാക്യം നമ്മുടെ വിമാനം പി ആണ്, വെക്റ്റർ രൂപത്തിൽ പ്രകടിപ്പിച്ച. എന്നാൽ അതിന്റെ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ വീക്ഷണത്തിൽ ആണ്:

പി ശ്രേഷ്ഠ അഥവാ 0. നാം സാധാരണ രൂപത്തിൽ വിമാനം സമവാക്യം ലഭിച്ചു തുല്യമാണ്.

ജനറൽ സമവാക്യം

നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പൂജ്യമായി സമനല്ലെന്നു വേണമെങ്കിലും ഗുണിക്കാവുന്ന, ഞങ്ങൾ വളരെ വിമാനം നിർവചിക്കുന്ന ഈ സമവാക്യം തുല്യമായ ലഭിക്കും. അത് താഴെ ഫോം ഉണ്ടാകും:

ഇവിടെ, എ, ബി, സി - പൂജ്യം മുതൽ ഒരേസമയം വിവിധ എണ്ണം. ഈ സമവാക്യം വിമാനം ജനറൽ ഫോം സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു.

എത്തുമ്പോൾ സമവാക്യങ്ങൾ. പ്രത്യേക കേസുകൾ

സമവാക്യം സാധാരണയായി അധിക ഉപാധികളോടെ പരിഷ്കരിക്കാൻ കഴിയും. അവരിൽ ചിലർ ചിന്തിക്കുക.

ഗുണനഘടകം എ 0. ഈ നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള അച്ചുതണ്ട് കാള വിമാനം സമാന്തരമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു ഏറ്റെടുക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം മാറ്റങ്ങൾ രൂപത്തിൽ: വു + ചെക്ക് ഡി = 0.

അതുപോലെ, സമവാക്യം രൂപവും താഴെ ഉപാധികളോടെ മാറും:

• ഒന്നാമതായി, എങ്കിൽ ഏക്സ് + ചെക്ക് ഡി = 0 ബി = 0, സമവാക്യം മാറ്റങ്ങൾ, അച്ചുതണ്ട് സെ ൽ സമാന്തരവർണനകളും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഏത്.
• രണ്ടാമതായി, സി = 0, സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഏക്സ് ഇനിപ്പറയുന്നവർ + d = 0 രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു എങ്കിൽ, ആ നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള അച്ചുതണ്ട് പരത്തി സമാന്തരമായി കുറിച്ച് പറയുന്നു എന്നതാണ്.
• മൂന്നാമതായി, ഡി = 0 എങ്കിൽ, സമവാക്യം വിമാനം ഒ (ഉത്ഭവം) വിഭജിക്കുന്ന അർഥം ഏത് ഏക്സ് + + കൊണ്ട് റിപ്പബ്ലിക് = 0, ദൃശ്യമാകും.
• നാലാമതായി, എ = ബി = 0, ചെക്ക് ഡി = 0 സമവാക്യം മാറ്റങ്ങൾ, സമാന്തരവർണനകളും ഒക്സയ് തെളിയിക്കാൻ ചെയ്യും എങ്കിൽ.
• അഞ്ചാം, ബി സി = 0 എങ്കിൽ, സമവാക്യം ഏക്സ് + d = 0, ഏത് വിമാനം ഒയ്ജ് സമാന്തരമായതും എന്നാണ് മാറുന്നു.
• സിക്സഥ്ല്യ്,, സമവാക്യമാണ് വു + d = 0 എടുക്കും ഒരു = സി = 0 എങ്കിൽ, അതായത്, സമാന്തരവർണനകളും ഒക്സജ് റിപ്പോർട്ട് ചെയ്യും.

വിഭാഗങ്ങളിലും സമവാക്യം രൂപത്തിൽ

താഴെ പറയുന്നു കേസ് നമ്പറുകൾ എ, ബി, സി, ഡി പൂജ്യം മുതൽ വ്യത്യസ്ത എവിടെ ൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ (0) വരാം:

X / എ + Y / ബി + Z / സി = 1,

ഉൾകൊള്ളുന്ന = -D / A, B = -D / ബി, സി = -D / സി

നാം കഷണങ്ങൾ വിമാനം ഫലമായി സമവാക്യം കിട്ടുന്ന. (0, ബി, 0), പരത്തി - - (0,0, ങ്ങൾ) ഈ വിമാനം നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ (ഒരു, 0,0), ചേര്ക്കുക ഘട്ടത്തിൽ X-അച്ചുതണ്ട് കൂട്ടിമുട്ടുന്ന എന്ന് കുറിക്കുകയും ചെയ്യണം.

സമവാക്യം X / ഒരു + Y / ബി + Z / സി = 1 കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ അത് ഒരു നിശ്ചിത കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പ്ലേസ്മെന്റിനായി വിമാനം ബന്ധു ചിത്രീകരിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടൊന്നും ഇല്ല.

സാധാരണ വെക്റ്റർ ഏകോപനങ്ങളും

സാധാരണ വെക്റ്റർ n വിമാനം പി വിമാനം ജനറൽ സമവാക്യം ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ, അതായത് ഉണ്ട് n (എ, ബി, സി) ലേക്ക്.

സാധാരണ n ഏകോപനങ്ങളും തീരുമാനിക്കാൻ, അത് വിമാനം നൽകിയ പൊതു സമവാക്യം അറിയാൻ മതി.

(1 / എ + 1 / ബി +1 /: ജനറൽ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ എഴുതിയ ഏതെങ്കിലും സാധാരണ വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്ററുകൾ തന്നിരിക്കുന്ന വിമാനം കഴിയില്ല, വിഭാഗങ്ങളിലും സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഫോം X / ഒരു + Y / ബി + Z / സി = 1 ഉണ്ട് സി).

വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്ന സാധാരണ വെക്റ്റർ എന്ന് കുറിക്കുകയും ചെയ്യണം. ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രശ്നം വിമാനങ്ങള് ഉപയോഗിച്ച് രേഖാഖണ്ഡം തമ്മിലുള്ള ചാരവിമാനങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ കോണുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണുകളിൽ കണ്ടെത്താൻ ചുമതല തെളിവ് ലംബമായി അല്ലെങ്കിൽ സമാന്തര ചാരവിമാനങ്ങൾ ൽ അടങ്ങുന്ന ചെയ്യുന്നു.

വിമാനം സമവാക്യം പോയിന്റ് സാധാരണ വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്ററുകൾ പ്രകാരം ടൈപ്പ്

ഒരു പൂജ്യമൊഴികെയുള്ള വെക്റ്റർ n, ഒരു നിശ്ചിത തലം ലംബമായി, ഒരു നിശ്ചിത തലം സാധാരണ വിളിച്ചു (സാധാരണ).

: ഓപ്പറേറ്റിങ് ബഹിരാകാശത്ത് (ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം) ഒക്സയ്ജ് വെച്ചു എന്ന് കരുതുക

• നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) ഉപയോഗിച്ച് മ്ₒ പോയിന്റ്;
• പൂജ്യം വെക്റ്റർ n = ഒരു * ഞാൻ + ബി * ജെ തോന്നുകയാണെങ്കില് * കെ.

നിങ്ങൾ മ്ₒ പോയിന്റ് സാധാരണ n ലംബമായി കടന്നുപോകുന്ന വിമാനം സമവാക്യം നടത്തേണ്ടതുണ്ടോ.

സ്ഥലം ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക എം (X, Y, Z) എസില്. R = X ആയിരിക്കും (Z, എക്സ്, Y) ഓരോ പോയിന്റ് എം വ്യാസമാണ് വെക്റ്റർ അനുവദിക്കുക * ഞാൻ + Y * ജെ + Z * കെ, ഒരു പോയിന്റ് മ്ₒ (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) എന്ന ആരം വെക്റ്റർ - ര്ₒ = ഹ്ₒ * ഞാൻ + ഉₒ * ജെ + ജ്ₒ * കെ. വെക്റ്റർ മ്ₒമ് വെക്റ്റർ n ലംബമായി എങ്കിൽ പോയിന്റ് എം, ഒരു നിശ്ചിത തലം തന്നെയാണ് ചെയ്യുക. നാം ഭൌമമായ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒര്ഥൊഗൊനലിത്യ് അവസ്ഥ എഴുതുന്നു:

[മ്ₒമ്, n] = 0.

മ്ₒമ് = R-ര്ₒ മുതൽ, വിമാനം വെക്റ്റർ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ കാണപ്പെടും:

[ആർ - ര്ₒ, n] = 0.

ഈ സമവാക്യം മറ്റൊരു രൂപം കഴിയും. ഈ ആവശ്യത്തിനായി ഭൌമമായ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, സമവാക്യം ഇടതു ഭാഗത്തു പരിവർത്തനം. [ആർ - ര്ₒ, n] = [R, n] - [ര്ₒ, വ]. - തലം ഭാഗമായ നൽകിയ പോയിന്റ് വ്യാസമാണ്-സദിശങ്ങളെയും സാധാരണ വെക്റ്റർ ന് പൂമുഖം എന്ന ക്ഷമ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു = 0 അല്ലെങ്കിൽ [R, n] = ങ്ങൾ, [R, N]: [ര്ₒ, എൻ] എങ്കിൽ ങ്ങൾ പോലെ സൂചിപ്പിക്കാം ഞങ്ങൾ പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് തരം റെക്കോർഡിംഗ് വിമാനം നമ്മുടെ വെക്റ്റർ സമവാക്യം [R - ര്ₒ, വ] ലഭിക്കും = 0. R-ര്ₒ = (എക്സ്-ഹ്ₒ) * ഞാൻ + (Y-ഉₒ) * ജെ + (Z-ജ്ₒ) * k മുതൽ, ഒപ്പം n = ഒരു * ഞാൻ + ബി * ജെ തോന്നുകയാണെങ്കില് * കെ, ഞങ്ങൾക്കു:

അത് ഞങ്ങൾ സമവാക്യം സാധാരണ n ലംബമായി പോയിന്റ് കടന്നു പോകുമ്പോൾ വിമാനം രൂപം എന്ന് മാറുകയാണെങ്കിൽ:

ഒരു * (X ഹ്ₒ) + R * (Y ഉₒ) എസ് * (Z-ജ്ₒ) = 0.

വിമാനം സമവാക്യം വെക്റ്റർ വിമാനം ചൊല്ലിനെഅര് രണ്ടു പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്ററുകൾ പ്രകാരം ടൈപ്പ്

ഞങ്ങൾ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് എം '(എക്സ്', ക ', ഇസെഡ്), എം "(X", Y ", z"), അതുപോലെ വെക്ടർ (ഒരു', ഒരു ", ഒരു ‴) എന്നിവയെ.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ എം (X, Y, Z) ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ സമാന്തരമായി നിലവിലുള്ള പോയിന്റ് എം 'എം' കടന്നുപോകുന്നത് സമവാക്യം നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള തലം, ഓരോ പോയിന്റ് എഴുതാം.

അങ്ങനെ മ്മ് സദിശങ്ങളെയും X = {x ', ക-ക'; ഒന്നുമില്ല '} എം "എം = {X" -x', Y 'ക'; z "-ജ് '} വെക്റ്റർ കൊണ്ട് ചൊപ്ലനര് ആയിരിക്കണം ഒരു = "ഇതിനർത്ഥം (ഒരു ‴, (മ്മ് എം ഒരു ', എ)' എം, എ) = 0.

അങ്ങനെ ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു വിമാനം ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ കാണപ്പെടും:

വിമാനം സമവാക്യം തരം, മൂന്ന് പോയിന്റ് കുറുകെ

ഒരേ വരിയിൽ അംഗമല്ലാത്ത ചെയ്ത (X ', ക', ഇസെഡ്), (എക്സ് ', ക', ഇസെഡ്), (X ‴ തന്നെ ‴, z ‴),: ഞങ്ങൾ മൂന്നു പോയിന്റ് പറയട്ടെ. ഇത് വ്യക്തമാക്കിയ മൂന്ന് പോയിന്റ് വഴി വിമാനം പാസായ സമവാക്യം എഴുതാൻ അത്യാവശ്യമാണ്. ജ്യാമിതി സിദ്ധാന്തം വിമാനം ഇത്തരത്തിലുള്ള ഉണ്ടോ വാദിക്കുന്നു, അത് ഒരേയൊരു തുടർന്ന്. ഈ വിമാനത്തിൽ (x ', ക', ഇസെഡ്) വിഭജിക്കുന്നു മുതൽ, അതിന്റെ സമവാക്യമാണ് തന്നെ:

ഇവിടെ, എ, ബി, സി ഒരേ സമയം പൂജ്യം മുതൽ വ്യത്യസ്തമാണ്. തന്നു വിമാനം രണ്ട് പോയിന്റ് (X ", Y", z ") ഉം (X ‴, ക ‴, z ‴) വിഭജിക്കുന്നു. ഈ ബന്ധപ്പെട്ട് അവസ്ഥ ഇത്തരത്തിലുള്ള പുറത്തു കൊണ്ടുപോയി വേണം:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു യൂണിഫോം സിസ്റ്റം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും സമവാക്യങ്ങളെ (ലീനിയർ) w, ഉന്ക്നൊവ്ംസ് U, V കൂടെ:

നമ്മുടെ കേസ് X ൽ, ക, z സമവാക്യം (1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഏത് ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ് നിൽക്കുന്നു. സമവാക്യം (1) ഇക്വേഷനുകളും ഒരു സിസ്റ്റം (2), (3) മുകളിൽ കണക്കുകൾ സൂചിപ്പിച്ച സമവാക്യങ്ങളെ സിസ്റ്റം, വെക്റ്റർ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു വ (എ, ബി, സി) പ്രസക്തമായ ആണ് പരിചിന്തിക്കുന്നത്. സംവിധാനത്തിന്റെ നിർണ്ണായകഘടകം പൂജ്യം കാരണം അത്.

സമവാക്യം (1) നാം ലഭിച്ചു ഈ വിമാനം സമവാക്യം ആണ്. 3 പോയിന്റ് അവൾ ശരിക്കും പോകുന്നു, അത് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ആദ്യം തുടർച്ചയായി മൂലകങ്ങളുടെ നിർണ്ണായകഘടകം വികസിപ്പിക്കാനും. നിലവിലുള്ള പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഡിറ്റർമിനന്റ് നമ്മുടെ വിമാനം ഒരേസമയം മൂന്ന് യഥാർത്ഥത്തിൽ നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള (x ', ക', ഇസെഡ്), (X ", Y", z "), (X ‴, ക ‴, z ‴) വിഭജിക്കുന്ന പിന്തുടരുകയും. അതിനാൽ ഞങ്ങളെ മുന്നിൽ ടാസ്ക് തീരുമാനിച്ചു.

മാറികയറേണ്ടത് തമ്മിലുള്ള ഡൈഹെഡ്രൽ കോൺ

ഡൈഹെഡ്രൽ കോൺ ഒരു വര നിന്ന് ങ്ങൾ രണ്ട് അർധ ചാരവിമാനങ്ങൾ രൂപം സീമാപരമായ ജ്യാമിതീയ രൂപത്തിനും. മറ്റു വാക്കുകളിൽ, പകുതി-വിമാനത്തിലോ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു ഏത് സ്ഥലം ഭാഗമായി.

ഞങ്ങൾ താഴെ സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് വിമാനം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:

നാം വെക്റ്റർ എൻ = (എ, ബി, സി), ന്¹ = (അ¹, ഹ്¹, സ്¹) നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ചാരവിമാനങ്ങൾ പ്രകാരം ലംബമായി എന്നു ഞാൻ അറിയുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഈ വിമാനത്തിലോ തമ്മിലുള്ള സ്ഥിതി സദിശങ്ങളെയും എൻ ആൻഡ് ന്¹ തുല്യ കോൺ (ഡൈഹെഡ്രൽ), തമ്മിലുള്ള φ കോൺ. ഭൌമമായ ഉൽപ്പന്നം നൽകുന്ന ആണ്:

ംന്¹ = | എൻ || ന്¹ | φ കോസ്,

കാരണം

ചൊസ്φ = ംന്¹ / | എൻ || ന്¹ | = (അഅ¹ + വ്വ്¹ ഷ്¹ +) / ((√ (അ² + s² ആണ് + വ്²)) * (√ (അ¹) ച.കി. + (ഹ്¹) ച.കി. + (സ്¹) ച.കി.)).

അത് ആ 0≤φ≤π പരിഗണിക്കുക മതി.

കൂട്ടിമുട്ടുന്ന യഥാർത്ഥത്തിൽ രണ്ടു ചാരവിമാനങ്ങൾ, ഫോം രണ്ട് കോൺ (ഡൈഹെഡ്രൽ): φ ₁ ഉം φ _2. അവരുടെ സം π (φ ₁ φ ₂ = π) തുല്യമാണ്. അവരുടെ .കൊസൈന് അവരുടെ മൂല്യങ്ങളെ തുല്യരാണ്, എന്നാൽ അവർ വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങൾ, ആണ്, കോസ് φ ₁ = -ചൊസ് φ _2. യഥാക്രമം, -A, -ബ് ആൻഡ് -c ഒരു, ബി, സി സമവാക്യത്തെ ൽ (0) പകരം എങ്കിൽ സമവാക്യം, ഞങ്ങൾ നേടുന്നതിനും അതേ വിമാനം, φ = എൻ ¹ / ജിത സമവാക്യത്തിലാൺ φ മാത്രം ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ ചെയ്യും | എൻ || എൻ ¹ | ഇത് π-φ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും.

ലംബമായി വിമാനം സമവാക്യം

ലംബമായി തലം, 90 ഡിഗ്രി ആണ് തമ്മിൽ വിളിച്ചു. മുകളിൽ ഹാജരാക്കിയ കാര്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത്, മറ്റു ലംബമായി ഒരു വിമാനം സമവാക്യം കണ്ടെത്താം. മഴു + + കൊണ്ട് ചെക്ക് ഡി = 0, + എന്നിവ അ¹ഹ് വ്¹ഉ സ്¹ജ് + ഡി = 0: ഞങ്ങൾ രണ്ടു ചാരവിമാനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. അവർ കോസ് = 0 എങ്കിൽ ഓർത്തോഗണൽ എന്ന് പറയാം. ഈ ംന്¹ = അഅ¹ + വ്വ്¹ ഷ്¹ ആ + = 0 എന്നാണ്.

ഒരു സമാന്തര വിമാനം സമവാക്യം

ഇത് പൊതുവായി യാതൊരു പോയിന്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന രണ്ടു സമാന്തര ചാരവിമാനങ്ങൾ പരാമർശിക്കുന്നു.

അവസ്ഥ സമാന്തരമായി എത്തുമ്പോൾ (അവരുടെ സമവാക്യങ്ങൾ മുൻ ഖണ്ഡിക ഉള്ളതു തന്നെയായിരിക്കും) സദിശങ്ങളെയും എൻ ആൻഡ് ന്¹ അവരോടു ലംബമായി ആയ ചൊല്ലിനെഅര് എന്നതാണ്. ഈ താഴെപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ അനുപാത പാലിക്കണം എന്നാണ്:

എ / അ¹ = ബി / സി = ഹ്¹ / സ്¹.

ആനുപാതിക നിബന്ധനകൾ വികസിപ്പിച്ചു എങ്കിൽ - എ / അ¹ = ബി / സി = ഹ്¹ / സ്¹ = ദ്ദ്¹,

ഈ ഒരേ ഡാറ്റ വിമാനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ആ സമവാക്യം ഏക്സ് + + കൊണ്ട് ചെക്ക് ഡി = 0 എന്നാണ് + അ¹ഹ് വ്¹ഉ സ്¹ജ് + ദ്¹ = 0 ഒരു വിമാനം വിവരിക്കുക.

പോയിന്റ് നിന്ന് വിമാനം ദൂരം

ഞങ്ങൾ (0) നൽകിയ ഒരു തലം പി, ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഇത് ക്ₒ നിർദ്ദേശാങ്കങ്ങൾ (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) ഉപയോഗിച്ച് പോയിന്റ് ദൂരം കണ്ടെത്താൻ അത്യാവശ്യമാണ് =. , അതിനു വിമാനം രണ്ടാം സാധാരണ കാഴ്ചയിൽ സമവാക്യം കൊണ്ടു വേണം:

(Ρ, V) = പി (ര്≥൦).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ρ (X, Y, Z) നമ്മുടെ പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ, n പി സ്ഥിതി വ്യാസമാണ് വെക്റ്റർ ആണ് - n, ഏത് പൂജ്യം പോയിന്റ് മോചിതനായി ലംബമായി നീളം ആണ്, വി - ദിശയിൽ ഒരു ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് ഏത് യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ, ആണ്.

ഒരു പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ = (X, Y, Z), n നൽകിയ പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ ₀ = (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) എന്ന ആരം വെക്റ്റർ മഹാമാന്ത്രികതയുടെ വ്യത്യാസം ρ-ρº ആരം വെക്റ്റർ അത്തരം ഒരു വെക്റ്റർ, ഏത് എന്ന പ്രൊജക്ഷൻ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം ആണ് വി, Q = ₀ പി വരെ (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) നിന്ന് കണ്ടെത്താൻ അത്യാവശ്യമാണ് ഏത് ദൂരം ഡി, സമന്മാരെ:

ഡി = | (ρ-ρ ^0, വി) | എന്നാൽ

(Ρ-ρ ^0, V) = (ρ, V ) - (ρ ^0, V) = പി (ρ ^0, V).

അതിനാൽ മാറുകയാണെങ്കിൽ,

ഡി = | (ρ ^0, V) പി |.

ഇപ്പോൾ ക്യു വിമാനം പി ₀ മുതൽ ദൂരം ഡി കണക്കുകൂട്ടാൻ, അത് സാധാരണ കാഴ്ച വിമാനം സമവാക്യം, പി ഇടത്, എക്സ് അവസാന സ്ഥലത്തു മാറ്റം, Y, Z പകരം (ഹ്ₒ, ഉₒ, ജ്ₒ) ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ് വ്യക്തമാണ്.

അങ്ങനെ, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് എന്ന് ഡി ഫലമായി പദപ്രയോഗം സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ.

ഭാഷ പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായ ലഭിക്കും:

d = | അഹ്ₒ വുₒ + ച്ജ്ₒ | / √ (അ² + വ്² + s² ആണ്).

വ്യക്തമാക്കിയ പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ ₀ ഉത്ഭവം പോലെ വിമാനം പി അക്കരെ ആണെങ്കിൽ, വെക്റ്റർ ρ-ρ ⁰ വി തമ്മിലുള്ള ഒരു ഉപകോണാകാരമോ കോൺ, ഇങ്ങനെ:

ഡി = - (ρ-ρ ^0, V) = (ρ ^0, V) -p> 0.

കേസ് പോയിന്റ് ചോദ്യോത്തരങ്ങൾ ₀ യു അതേ ഭാഗത്തു സ്ഥിതി ഉത്ഭവം സംയോജിച്ച് വരുമ്പോൾ ൽ, അക്യൂട്ട് കോൺ സൃഷ്ടിച്ചത് ആണ്:

ഡി = (ρ-ρ ^0, V) = പി - (ρ ^0, V)> 0.

ഫലമായി മുൻ കേസിൽ (ρ ^0, V)> പി, രണ്ടാം (ρ ^0, V) <പേ എന്നതാണ്.

അതിന്റെ ടാഞ്ചെന്റ് വിമാനം സമവാക്യം

ഉപരിതലത്തിൽ ആ പോയിന്റ് കമഴ്ത്തിക്കിടത്തി കർവ് സാധ്യമായ എല്ലാ ടാഞ്ചെന്റ് അടങ്ങുന്ന ഒരു തലം - തന്ഗെന്ച്യ് മ്º പോയിന്റ് ഉപരിതലത്തിന്റെ വിമാനം സംബന്ധിച്ചു.

: സമവാക്യം എഫ് ഈ ഉപരിതല ഫോം (X, Y, Z) = ടാഞ്ചെന്റ് വിമാനം ടാഞ്ചെന്റ് പോയിന്റ് മ്º എന്ന സമവാക്യം 0 (ഹ്º, ഉº, ജ്º) ആയിരിക്കും കൂടി

എഫ് _{എക്സ്} (ഹ്º, ഉº, ജ്º) (ഹ്º X) + F _X (ഉº, ഹ്º, ജ്º) (ഉº Y) + F _X (ഹ്º, ഉº, ജ്º) (Z-ജ്º) = 0.

ഉപരിതല വ്യക്തമായി z = എഫ് (X, Y) വെച്ചു എങ്കിൽ, ടാഞ്ചെന്റ് വിമാനം സമവാക്യം വിവരിക്കുന്നത്:

ഇസഡ് ജ്º = എഫ് (ഹ്º, ഉº) (ഹ്º X) + F (ഹ്º, ഉº) (Y ഉº).

രണ്ട് എത്തുമ്പോൾ കവല

ൽ ത്രിമാന സ്ഥലം ഒരു കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം (ചതുരാകൃതിയിലുള്ള) ഒക്സയ്ജ്, ഓവർലാപ് ഒപ്പം പദ്യം പോലും രണ്ട് ചാരവിമാനങ്ങൾ പി 'പി' തിരിച്ചറിയുക. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ൽ ഏകോപിപ്പിക്കാൻ ജനറൽ സമവാക്യം നിർവചിക്കുന്ന സിസ്റ്റം ഏതെങ്കിലും തലം,, ഞങ്ങൾ n + ബി X '+ Y' "0 = എ എൻ സമവാക്യങ്ങൾ അക്സ + വഉ സ്ജ് + ഡി നിർവ്വചിച്ചിരിക്കുന്നു '" എന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു "z + ഡി" = 0 കൂടി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ തലം പി 'ആൻഡ് വിമാനം പി സാധാരണ എൻ "(എ", ബി ", സി")' സാധാരണ എൻ '(എ', ബി ', സി') ഉണ്ട്. നമ്മുടെ വിമാനം സമാന്തരമായി പോലെ അല്ല പദ്യം പോലും, അപ്പോഴും ഈ സദിശങ്ങളെ അല്ല ചൊല്ലിനെഅര് ആകുന്നു. , എൻ '≠ n "↔ (എ', ബി ', സി') ≠ (λ * പിന്നെ", λ * ൽ ", .എന്ട്രി * സി") λεര്: മാത്തമാറ്റിക്സ് ഭാഷ ഉപയോഗിച്ച് ഈ അവസ്ഥ എഴുതിയ സാധ്യമാകൂ. ' "∩ പി കത്ത് ഒരു, ഈ കേസിൽ ഒരു = പി സൂചിപ്പിക്കാം ചെയ്യും," പി' വിഭജനത്തിൽ പി ന് കിടക്കുന്ന വര അനുവദിക്കുക.

ഒപ്പം - പോയിന്റ് (സാധാരണ) ചാരവിമാനങ്ങൾ പി 'പി' ഒരു ചതുരശ്രയടി അടങ്ങുന്ന ഒരു വരി. ഈ വരി വരെ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്ററുകൾ, ഒരേ സമവാക്യം അക്സ + വഉ സ്ജ് നിറവേറ്റിയിരിക്കണം എന്നാണ് + ഡി '= 0 ഒരു "എക്സ് ബി + സി Y" Z + ഡി "= 0. ഈ പോയിന്റ് ഏകോപനങ്ങളും താഴെ സമവാക്യങ്ങളെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം വേണം എന്ന്:

ഫലം സമവാക്യങ്ങൾ വ്യവസ്ഥിതിയുടെ പരിഹാരം (മൊത്തം) കവല പി പോയിന്റ് പോലെ പ്രവർത്തിക്കും ഏത് ലൈനിൽ പോയിന്റ് ഓരോ കോർഡിനേറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ചെയ്യും 'പി', ഒരു കോഓർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഒക്സയ്ജ് (ചതുരാകൃതിയിലുള്ള) സ്പേസ് ഒരു ലൈൻ നിർണ്ണയിക്കാൻ ആണ്.